Question

如图，四边形ABCD为正方形，边长为a，以点B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影部分的面积是

Answer 1

解：
以点B为原点，BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系
则正方形四顶点的坐标分别为A(0,a)、B(0,0)、C(a,0)、D(a,a)
设以BC为直径的圆的圆心为O,则O(a/2,0)
⊙O的方程为：(x-a/2)2+y2=(a/2)2 1
以D为圆心，DA为半径的圆弧所在圆的方程为
(x-a)2+(y-a)2=a2 2
即：x2-ax+y2=0 1
x2-2ax+y2-2ay+a2=0 2
由○1-○2可得：ax+2ay-a2=0
即：y=(a-x)/2 3
将3代入1可得：
x2-ax+a2/4-ax/2+x2/4=0
即：5x2/4-3ax/2+a2/4=0
即：5x2-6ax+a2=0
即：(5x-a)(x-a)=0
所以x=a或x=a/5
当x=a时，y=0即是C点
当x=a/5时，y=2a/5
即P点坐标为P(a/5,2a/5)
设AP所在直线的方程为y=kx+b
将A、P两点的坐标代入可得AP所在直线的方程为
y=-3x+a
点N为AP与BC(即x轴)的交点
所以点N(a/3,0)
即BN=a/3
因为BC=a
所以BN/NC=1/2

Answer 2

S＝a²-（π/4）a²＝（1-π/4）a²≈0.2146a²

[没有图，我猜错了吗？]