Question

数学分析题目，求教

Answer 1

首先要看出单调性，f(x+y)>=f(x)，所以是单调增的，顺便也得到了f(x)是Riemann可积的。
然后就很容易了，先取x=y=0得到f(0)=0，再反复利用f(2x)>=2f(x)可以得到f(2^{-k})<=2^{-k}，那么对于(0,1/2]中的x，必属于某个区间[2^{-k-1},2^{-k}]，于是f(x)<=f(2^{-k})<=2^{-k}<=2x，而当x>1/2时直接利用f(x)<=f(1)<2x。
至于积分，既然已经证明了Riemann可积，Riemann和就可以随便取，只要取等距划分并且每个小区间都取左端点就得到Riemann和必不超过f(1)/2，再取极限即可。如果不想看Riemann和的话就利用\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 f(1-x)dx，加一下就出来了。