Question

数列｛an}的前n项和为Sn，a1=1，a(n+1)=2Sn (1),求，数列[an}的通项an （2）求，数列｛nan｝的前n项和Tn

Answer 1

a(n+1)=2Sn
a(n+1)/2=Sn
an/2=Sn(n-1)

an=Sn-Sn(n-1)
an=a(n+1)/2-an/2
3an/2=a(n+1)/2
3an=a(n+1)
a(n+1)/an=3

所以an是以1为首项，公比为3的等比数列
an=a1q^(n-1)
an=3^(n-1)

a1=1*3^0
2a2=2*3^1
3a3=3*3^2
....
nan=n*3^(n-1)

Tn=1*3^0+2*3^1+3*3^2+...+n*3^(n-1)

3Tn=1*3^1+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n

Tn-3Tn
=3^0+3^1+3^2+...+3^(n-1)-n*3^n
=(1-3^n)/(1-3)-n*3^n
=(3^n-1)/2-n*3^n
=3^n/2-1/2-n*3^n
=3^n*(1/2-n)-1/2

-2Tn=3^n*(1/2-n)-1/2
-Tn=3^n*(1/4-n/2)-1/4
Tn=3^n*(n/2-1/4)+1/4
Tn=4*3^n*(2n-1)+1/4