Question

请教一道数学题 高分！

如图 第18大题

Answer 1

F(x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a)
(1)对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a•2^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a•2^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2, a=2.
(2) y=(-2^x+1)/(2^(x+1)+2)= (-2^x+1)/[2(2^x+1)]
y= (-2^x+1)/[2(2^x+1)]= (-2^x-1+2)/[2(2^x+1)]
=1/2[-1+2/(2^x+1)]
2^x+1>1, 0<1/(2^x+1)<1.
0<2/(2^x+1)<2. -1<-1+2/(2^x+1)<1,
所以值域为（-1/2,1/2）.
(3) y=1/2[-1+2/(2^x+1)]，可以直观地看出函数单调递减。
下面用定义证明。
任取实数x1,x2,且x1<x2.
F(x1)-f(x2)= 1/2[-1+2/(2^x1+1)]- 1/2[-1+2/(2^x2+1)]
=1/2[2/(2^x1+1)]- 1/2[2/(2^x2+1)]
=1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)=( 2^x2-2^x1)/[( 2^x1+1)( 2^x2+1)]
>0,
所以函数在R上单调递减。
(4)f(t²-2t)+f(2 t²-k)<0
f(t²-2t) < -f(2 t²-k)……利用奇函数定义
f(t²-2t) < f(k-2 t²)……利用单调递减
所以t²-2t> k-2 t²
K<3t²-2t
3t²-2t=3(t-1/3) ²-1/3≥-1/3
所以恒成立时，只需k小于函数3t²-2t的最小值即可。
∴K<-1/3.

Answer 2

....