Question

关于高中函数问题，要过程

1.已知二次函数f（x)=x^2-(a-1)x+1
(1)若函数F(x)=√f(x)的定义域为R，求a的取值范围。
（2）若对一切x∈正实数，衡有f(x)≥0成立，求a的取值范围。
2.（1）定义在[1,4]上的函数f(x)为减函数，求满足不等式f(1-2a)-f(4-a^2)>0的a的集合。
（2）定义在[-2,2]上的构函数g（x),当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1-m)<g(m)成立，求m的取值范围。
3.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x。
（1）求函数的解析式
（2）求函数f(x)在[a,a+1]a∈R上的最小值g(x)的表达式。
4.已知1/3≤a≤1，若函数f(x)=ax^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)判断函数g(x)在区间[1/3，1]上的单调性，并求出g(a)的最小值

Answer 1

设x1x2
f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)+f(x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1)
x2x1 故x2-x10 f(x2-x1)0
f(x)在R是严格减函数，请看条件有没有错

Answer 2

解：1.（1）据题意得x^2-(a-1)x+1>=0
(a-1)^2-4<=0
所以-1<a<3
（2）据题意知：1.当对称轴x=(a-1)/2>=0时，有(a-1)^2-4<=0
1<=a<=3
2. 当对称轴x=(a-1)/2<0时，有f(0)>=0成立，即a<1
所以a<=3
2.(1)据题意知：1<1-2a<4且1<4-a^2<4且1-2a>4-a^2
解得-3/2<a<-1
(2)据题意知：-2<1-m<2且-2<m<2且ImI<I1-mI
解之得1/2<m<2
3.(1)设则f(x)=ax^2+bx+1
有a(x+1)^2+b(x+1)+1=ax+bx+1+2x
即ax^2+2ax+a+bx+b+1=ax^2+bx+1+2x
所以有(2a-2)x+(a+b)=0，所以a=1;b=-1
f(x)=x^2-x+1
(2)当对称轴x=1/2<=a+1/2即a>=0时有
f(x)min=f(a)=a^2-a+1
当对称轴x=1/2>=a+1/2即a<=0时有
f(x)min=f(a+1)=(a+1)^2-(a+1)+1
4.(1)f(x)开口向上,对称轴x=1/a,据题意可知1<=1/a<=3
当1<=1/a<=3/2时,即2/3<=a<=1;M(x)=f(3)=9a-5；N（x）=f(1)=a-1
当3/2<=1/a<=1时,即1/3<=a<=2/3;M(x)=f(1)=a-1;N(x)=f(3)=9a-5
所以 g(a)= 8a-4,2/3<=a<=1
4-8a,1/3<=a<=2/3
(2)据表达式可知，在【2/3,1】上递增，在【1/3,2/3】上递减

Answer 3

1（1）若函数F(x)=√f(x)的定义域为R，需使f(x)≥0恒成立。
即◁=b^2-4ac=(a-1)^2-4≥0对任意a恒成立.解得a≥3或a≤-3
(2)若对一切x∈正实数，衡有f(x)≥0成立，且f(x)图像开口向上，故其图像与X轴不能有两个交点.即◁=b^2-4ac=(a-1)^2-4≥0对任意a恒成立.解得a≥3或a≤-3
2（1）由f(1-2a)-f(4-a^2)>0得f(1-2a)>f(4-a^2)
又因为定义在[1,4]上的函数f(x)为减函数
所以1≤1-2a≤4，1≤4-a^2≤4，1-2a＜4-a^2
解得-1＜a≤0 故a的集合为｛a\-1＜a≤0 ｝
（2）因为偶函数g（x),当x≥0时，g(x)单调递减
所以当x≤0时，g(x)单调递增
当x≤0时，g(1-m)<g(m)，则-2≤1-m≤2，-2≤m≤2，1-m<m，解得m属于[1,2]
当x≥0时，g(1-m)<g(m)，则-2≤1-m≤2，-2≤m≤2，1-m＞m，m不存在
综上所述，m属于[1,2]
3（1）设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax^2+bx+c
因为f(0)=1所以c=1
因为f(x+1)-f(x)=2x 即a（x+1）^2+b（x+1）+c-（ax^2+bx+c）=2x
因为f(x+1)-f(x)=2x所以f(x+1)=f(x)+2x
所以f(x+2)-f(x+1)=f(x+2)-（f(x)+2x）=2（x+1）
即f(x+2)-f(x)=2 所以f(x)为周期为2 的周期函数
………………实在做不下去了，，，

Answer 4

1、f（x)=x^2-(a-1)x+1=[x-(a-1)/2]^2+1-(a-1)^2/4
(1)若函数F(x)=√f(x)的定义域为R，则f(x)=x^2-(a-1)x+1≥0在x属于R内恒成立，函数开口朝上，只需△≤0，即(a-1)^2-4≤0,-1≤a≤3.
(2)若对一切x∈正实数，衡有f(x)≥0成立,从图像分析有两种情况，第一种函数与X轴无交点，即△≤0，-1≤a≤3；第二种因图像与Y轴交与(0,1)所以图像与X轴交点都为负才有f(x)≥0，由维达定理得x1+x2=a-1≤0，得a≤1,综合得
a≤3。
2、由已知得1≤1-2a≤4，1≤4-a^2≤4，1-2a≤4-a^2，综合解得-1≤a≤0。
3、(1)设函数f(x)=ax^2+bx+c,由f(0)=1得c=1，f(x+1)-f(x)=2ax+1+b=2x，
可得a=1,b=-1,函数解析式为f(x)=x^2-x+1
(2)f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4,f(x)在（-∞，1/2）单调递减，
在[1/2,+∞）上单调递增，当a+1≤1/2，即a ≤-1/2时，f(x)在[a,a+1]上单调递减，最小值为g(x)=f(a+1)=a^2+a+1,
当a≥1/2时，f(x)在[a,a+1]上单调递增最小值g(x)=f(a)=a^2-a+1;
当a+1/2≤1/2,即a≤0时，最小值g(x)=f(a+1)=a^2+a+1；
当a+1/2≥1/2,即a≥0时，最小值g(x)=f(a)=a^2-a+1；
综合得g(x)=a^2+a+1 （a≤0)
=a^2-a+1 （a≥0)
4、(1)1/3≤a≤1，1≤1/a≤3,f(x)=ax^2-2x+1=a(x-1/a)^2+1-1/a,
最小值为N(a)=1-1/a，
函数定义域为[1,3]，2是定义域中点，当1/a≥2时，即a≤1/2时，
最大值为f(1)= a-1≤-1/2，当1/a≤2时，即a≥1/2时，最大值为f(3)= 9a-5≥1/2,所以最大值M(a)=f(3)= 9a-5,g(a)=M(a)-N(a)=9a+1/a-6.
(2) 用函数单调性定义证明，设1/3≤a1<a2≤1,则1/9≤a1a2，
g(a2)-g(a1)=9(a2-a1)+(1/a2-1/a1)=（a2-a1)(9a1a2-1)/a1a2≥0,
所以函数g(a)在[1/3,1]里单调递增，最小值为g(1/3)=0