Question

定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)×f(b)，f(0)不等于0且f(x)为减函数

求证1.x<0 f(x)>1
2.若f（1）=1/2 则f(-1)=
3.f(3)f(-3)=
4.求证f(-x)=1/f(x)
5.求证f(x)>0

Answer 1

1.令a=b=0，则有f(0+0）=f（0）×f（0）
因为f(0)不等于0，所以f（0）=1
因为f(x)为减函数，所以当x<0时，f（x）＞f（0）=1
所证命题成立.

2.令a=1，b=-1，则有f（1-1）=f（1）xf（-1）即 1=1/2 x f（-1）
所以f（-1）=2

3.令a=3，b=-3，则f（3-3）=f(3)f(-3)
所以f(3)f(-3)= 1

4.令a=x，b=-x，则f（x-x）=f（x）f(-x)=1

所以f(-x)=1/f(x)

5.设x＜0，则-x＞0
由1中的证明，x<0时， f(x)>1
所以 0＜1/f(x)＜1
由4可知
f(-x)=1/f(x) 所以 0＜f(-x)＜1
又因为 f（0）=1大于0
综上，对x属于R都有f(x)>0