Question

高中数学必修5解三角形题目

在三角形ABC中，设a+c=2b，A-C=三分之派（60度），求sinB的值。

Answer 1

由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∵a+c=2b
∴sinA+sinC=2sinB
∵A+B+C=π
∴sinB=sin（π-A-C）=2sin（A+C）
∴sinA+sinC=2sin（A+C）
左边和差化积，右边二倍角

2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)=4sin((A+C)/2)cos((A+C)/2)
∴cos((A+C)/2)=1/2·cos((A-C)/2)=√3/4
∵0＜((A+C)/2)＜π/2
∴sin((A+C)/2)=√13/4
∴sinB=sin(A+C)=2sin((A+C)/2)cos((A+C)/2)=√39/8

Answer 2

∵a+c=2b 即sinA+sinC=2sinB
∴2sin[(A+C)/2]cos[(A-C/2]=4sin(B/2)cos(B/2)
∴2sin(B/2)cos30°=4sin(B/2)cos(B/2)
cos30°=2cos（B/2) ∴cos(B/2)=√3/4
sin(B/2)=√13/4 sinB=√39/8