Question

一道高中数列函数题

已知函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
1.求证:f(x)是R上的增函数
2.若f(4)=5,解不等式f(3m^2-m-2)<3

Answer 1

1)x>0时：令a>0,b>0,则a+b>a,a+b>b
由f(a)>1,f(b)>1易得f(a+b)>f(a),f(a+b)>f(b)
那么由a,b的任意性可得f(x)在x>0时递增
x<0时：令b=-a<0，那么f(-a)=2-f(a)，那么此时也递增
2)令a=b=2，则f(2)=3
a=b=1,f(1)=2
由f(0)=1及数学归纳法可得对整数有f(x)=x+1,后面就好办了