Question

定义在R上的函数f(x),满足f(x)=log2(1-x) x≤0; f(x)=f(x-1)-f(x-2) x>0,求f(2009)

Answer 1

分析：已知函数只有当x≤0时才有解析式f(x)=log2(1-x)。
而2009不满足x≤0，所以必须在x≤0内找到和f(2009)相等的值。
因此，转化关系是解决问题的关键。
解：∵x>0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2) ①
∴有 f(x+1)=f(x)-f(x-1) ②
①+②得：f(x+1)=-f(x-2) ③
将③中x换成x+3得：f(x+4)=-f(x+3-2)=-f(x+1) ④
再将③代人④得：f(x+4)=f(x-2) ⑤
再将⑤中x换成x+2得：f(x+6)=f(x)
从而得到：f(x)是以6为周期的周期函数。
所以f(2009)=f(-1+335×6)=f(-1)
又∵x≤0时，f(x)=log2(1-x)
∴f(-1)=log2(1-(-1))=log2(2)=1

Answer 2

由f(x)=f(x-1)-f(x-2)得f(x-2)=f(x-1)-f(x)，则f(x-1)=f(x)-f(x+1) 所以当x>0时,f(x-2)=f(x-1)-f(x) =f(x)-f(x+1)-f(x) =-f(x+1)……（1）
由f(x-2)=f(x-1)-f(x)得 f(x+1)=f(x+2)-f(x+3) 及f(x+2)=f(x+3)-f(x+4)
于是 f(x+1)=f(x+3)-f(x+4)-f(x+3)=- f(x+4) …………………… （2）
所以 由（1），（2）得： f(x-2)=f(x+4)，（ x>0）…………………… （3）
所以，由（3）有 f(5)=f(11)，f(11)=f(17)，…… f(5)=f(6n+5),
其中 n为正整数，而2009=6 ×334+5，故 f(2009)=f(5)，
又由（1）有： f(5)=-f(2)，由已知有：f(2)=f(1)-f(0)= f(1)-0= f(1)
f(1)=f(0)-f(-1)= -f(-1)= -1 所以 f(2009)=f(5)=1，

Answer 3

取x=2009,f(2009)=f(2008)-f(2007),取x=2008,f(2008)=f(2007)-f(2006),两式相加得f(2009)=-f(2006)...以此类推f(2009)=-f(2)，
取x=2,f(2)=f(1)-f(0),取x=1,f(1)=f(0)-f(-1)
f(-1)=log2(2)=1,f(2)=f(0)-1-f(0)=-1,
所以f(2009)=1，这在数学上叫周期函数