Question

一道求函数解析式的题目，求解答。

题目如下：
已知f(x)=ax²+bx+c,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)。请写出详细过程，谢谢！
怎么得到ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1？ax²+bx+x+1是怎样得到的啊？是将ax²+bx+c直接代进去吗,可是那个X和X+1中的X好像不同吧

Answer 1

f(0)=c=0
f(x+1)=f(x)+x+1
a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+bx+c+x+1
ax²+2ax+a+bx+b+c=ax²+bx+c+x+1
ax²+(2a+b)x+a+b+c=ax²+(b+1)x+c+1
2a+b=b+1,a+b+c=c+1
a=1/2,b=1/2
f(x)=1/2(x²+x)

是直接带入
X和X+1中的X是相同的，如果不同应该用不同的字母表示
而且x代表定义域内的任意值，应该有普遍性，即对任何x都应该f(x+1)=f(x)+x+1成立

Answer 2

因为f(0)=0，将x=0代入f(x)=ax²+bx+c
得c=0
又f(x+1)=f(x)+x+1，将x+1代入f(x)=ax²+bx
即a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1
ax²+(2a+b)x+a+b=ax²+(b+1)x+1
则得2a+b=b+1 ①
a+b=1 ②
解得a=1/2
b=1/2
f(x)=x²/2+x/2

Answer 3

f(0)=0。c=0
f(x+1)=f(x)+x+1,带入函数，a(x+1)^2+b((x+1)=ax^2+bx+x+1.解，使同阶系数相等。可得a=1/2,b=1/2.

Answer 4

f(0)=c=0,f(x+1)=a(x+1)^2+bx+b=ax^2+(2a+b)x+a+b=f(x)+x+1=ax^2+(b+1)+1,得2a+b=b+1,a+b=1,所以a=b=1/2