Question

△abc中，D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，AD,BE,CF相交于点O,AB=6，BC=10，AC=8，求DE,OA,OF的长和∠EDF的大

Answer 1

解：
三角形ABC中,AB=6，BC=10，AC=8
有BC^2=AB^2+AC^2
所以三角形ABC为直角三角形
O为该三角形的重心
则OE=(1/3)*BE
OA=(2/3)*AD
OF=(1/3)*CF
AB=6,AE=(1/2)*AC=4
则BE= √(AB^2+AE^2)=√(36+16)=2√13
得OE=2√13/3
AD=6*8/10=4.8
得OA=3.2
AC=8,AF=(1/2)*AB=3
CF=√(AF^2+AC^2)=√(9+64)=√73
得OF=√73/3
(运用到了重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的 距离是它到对边中点距离的2倍）

D,E，F分别为BC,AC,AB的中点
则ED//AB,DF//AC
所以∠EDC=∠B,∠BDF=∠C
而sinB=8/10=4/5,sinC=6/10=3/5
而∠EDC+∠EDF+∠BDF=180°=π
所以∠EDF=π-arcsin(3/5)-arcsin(4/5)

综上：OE,OA,OF的值分别为2√13/3，3.2，√73/3，∠EDF为（π-arcsin(3/5)-arcsin(4/5)）