Question

初二数学题求解！

如图，等腰直角三角形ACB，O为斜边AB的中点，点E、F分别在AC丶BC上，且角EOF为45°。
求，
（1）点E，F在边AC、BC上时[如图（1）]、
（2）点E在AC上，点F在BC的延长线上时[如图（2）]，
CE、EF、BF的数量关系.

最好有详细解答，谢谢！

Answer 1

答案：两种情况下的CE、EF、BF的数量关系都是：BF=CE+EF
(1) 证明：连CO,在BC上截取BK=CE, 连OK
∵ △ACB是等腰直角三角形，O为斜边AB的中点
∴ CO=AB/2=BO ∠ECO=∠KBO=45°
∴ △ECO≡△KBO （SAS）
∴ ∠EOC=∠KOB OE=OK
又∵ ∠FOK=90°-（∠COF+∠KOB)=90°-（∠EOC+∠COF)=90°-∠EOF
∵ ∠EOF=45°
∴ ∠FOK=45°
在 △EOF和△KOF中 ∵OE=OK ;∠EOF=∠FOK; OC=OB
∴ △EOF≡△KOF （SAS）
∴ EF=KF
∴ BF=BK+KF=CE+EF
(2) 同理：连CO,在BC上截取BK=CE, 连OK
易得：∴ △ECO≡△KBO（SAS)
∴ ∠EOC=∠KOB EO=KO
∵ ∠EOC=∠EOF=45°+∠COF
∴ ∠KOB= ∠EOC= 45°+∠COF
∴∠KOF=∠KOC+∠COF
又∵ ∠KOC= 90°-∠KOB=90°-（45°+∠COF）=45°-∠COF
∴∠KOF=∠KOC+∠COF=45°-∠COF+∠COF=45°
∴在 △EOF和△KOF中 ∵EO=KO ;∠EOF=∠KOF=45°; OF=OF
∴ △EOF≡△KOF （SAS）
∴ EF=KF
∴ BF=BK+KF=CE+EF
证毕！