Question

关于数列的题目

正项数列{an}满足a1=1,Sn为其前n相的和,且4Sn=(an+1)^2 （n大于等于1）
求{an}的通项公式
bn=an（1/2）^n，求其前n相和Tn

Answer 1

4Sn=(an+1)^2
4S(n-1)=(a(n-1)+1)^2
[注：S和a后面的括号中为下脚标]
4an＝4Sn-4S(n-1)= (an+1)^2 -(a(n-1)+1)^2
所以：(an-1)^2＝(a(n-1)+1)^2
an-1＝±(a(n-1)+1)
由于为{an}为正项数列，所以an-1＝a(n-1)+1
an-a(n-1)＝2
为等差数列，公差为2
an=1+2(n-1)＝2n-1

bn=(2n-1)*(1/2)^n

Tn=1*(1/2)^1+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+……+(2n-3)*(1/2)^(n-1)+(2n-1)*(1/2)^n
Tn/2＝1*(1/2)^2+3*(1/2)^3+5*(1/2)^4+……+(2n-3)*(1/2)^n+(2n-1)*(1/2)^(n+1)
两式相减：
Tn/2
＝1/2+2*[(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+……+(1/2)^n]-(2n-1)*(1/2)^(n+1)
＝3/2-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^(n+1)
＝3/2-(2n+3)*(1/2)^(n+1)

Tn=3-(2n+3)*(1/2)^n

Answer 2

4Sn=(an+1)^2
所以4Sn-1=(an-1 +1)^2
两式相减得：4an=(an+1)^2-(an-1 +1)^2
整理得 ：(an+an-1)(an-an-1 -2)=0
所以 ：an=an-1 +2
而a1=1 所以 an=2n-1

bn=(2n-1)/(2^n)
Tn=1/2+3/2^2+5/2^3+……+（2n-1）/2^n
2Tn=1/1+3/2^1+5/2^2+……+（2n-1）/2^(n-1)
两式相减得
Tn=1+2(1/2^1+1/2^2+……+1/2^(n-1))+(2n-1)/2^n
=1+(1/2^0+1/2^1+……+1/2^(n-2))+(2n-1)/2^n
=1+1/2^(n-1)-1-(2n-1)/2^n
=(3-2n)/2^n