Question

线性代数——行列式

| x 1 2 -1 |
设f（x)=| 0 x -x 1 |
| 1 2x 3 0 |
| 1 -x x x |
则其中x^4的系数为_____,常数项为______.
详细过程，谢谢！！！

Answer 1

解：四次项系数为2，常数项是3。理由如下：
①先求常数项：f(x)的常数项就是f(0)的值，
将行列式中所有的x代换为0得：
|0 1 2 -1| |0 1 2|
f(0)=|0 0 0 1|= 1·|1 0 3|=1·|1 2|=3
|1 0 3 0| |1 0 0| |0 3|
|1 0 0 0|
（第二个等号是按第二行展开，第三个等号是按第三行展开）
②再求x^4项系数：
因为行列式展开式的每一项都是由行列式中不同行，不同列的元素的乘积附加一定符号组成的。观察该行列式，x^4项只有一项：
第一行取(1,1)元=x
第二行取(2,3)元=-x
第一行取(3,2)元=2x
第一行取(4,4)元=x
四个元素的积等于-2x^4；
由于它们的行序号没有逆序，列序号恰有一个逆序，所以还应附加一个负号
故展开式的四次项为2x^4，所以四次项系数为2。