Question

立体几何问题

11.从P点出发三条射线PA、PB、PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为三分之四π，则OP的距离为（ ）
我觉得P-ABC可以为正四面体，而那样就没有答案了，所以请高手解答。

Answer 1

球的体积为三分之四π
球体积公式 V=4/3πR³=4/3π
得出球的半径 R=1

确实是正四面体
证明 从球外一点P 向球引切线 所有切线长相等 为一圆锥面
所以 PA=PB=PC 两两成60° 因此为 正四面体
连接PO 交 平面ABC于点D
则D为三角形ABC的中心 （三角形ABC为等边三角形）

设DA长为2x 则PA长为 2√3x PD长为2√2x

在直角三角形 PAO中 应用勾股定理

PA= 2√3x OA=R=1
OP=OD+PD=√（1-4x²）+（2√2）x

12x²+1²=[√（1-4x²）+（2√2）x]²
解得x=√6/6.
或者用射影定理： AD²=PD*OD

(2x)²==√（1-4x²）*（2√2）x
同样解得x=√6/6.
代入得
OP=√3