Question

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒f(x+y)=f(x).f(y),当x>0时,有0<f(X)<1

设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒f(x+y)=f(x).f(y),当x>0时,有0<f(X)<1
求证:(1) f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1
(2) f(x)在R上单调递减

Answer 1

1.
令x=1，y=0
得f(1+0)=f(1)*f(0)
∴f(0)=1

令y=-x，则f(x+y)=f(0)=1
即f(x+y)=f(x)*f(y)=f(x)*f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
当x＜0时， - x＞0，
则0＜f(-x)＜1
∴1/f(-x)＞1
即f(x)＞1

2.
令y＞0，则x+y＞x，且0＜f(y)＜1
f(x+y)/f(x)=f(x)*f(y)/f(x)=f(y)
∴0＜f(x+y)/f(x)＜1
∵f(x)＞0
∴f(x)＞f(x+y)
又∵x＜x+y
∴ f(x)在R上单调递减

Answer 2

做此类题需懂得建立模型思想。初步观察此题就知道其数学模型为：f(x)=a^x.从而将模糊的函数转化为清楚明了的了。（解答从略）