Question

判断函数f（x）=x/x2+1在（-1，1）上单调性并证明

Answer 1

令g(x)=(x^2+1)/x=x+1/x
g'(x)=1-1/x^2
令g'(x)>0
可得：x<-1或x>1
故g(x)在（－∞，-1）上增，在（-1，0）上减，（0，1）上减，（1，＋∞）上增
由于g(x)是f(x)的倒数
所以f(x)在（－∞，-1]上减，[-1，1]上增，[1，＋∞）上减

Answer 2

单调递增。
假设-1<a<b<1，
则（ab-1）（b-a）<0，
所以ab^2+a<ba^2+b
即a（b^2+1）<b(a^2+1），
a/(1+a^2)<b/(1+b^2)，
所以f(a)<f(b)。所以f（x）单调递增。

思考的时候，用？代替<，按上述步骤倒推，于是知道？是<。

Answer 3

设1>a>b>-1,f(a)=a/(a^2+1),f(b)=b/(b^2+1),则f(a)-f(b)=((a-b)(1-ab))/((a^2+1)(b^2+1))
当1>a>b>0时，a-b>0,1-ab>0,所以f(x)在（0，1）单调递增。
当0>a>b>-1时，a-b<0,1-ab>0,所以f(x)在（0，-1）单调递减