Question

数学几何题一道

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1‖AC。动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动。过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG。设点D运动的时间为t秒。
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；

Answer 1

(1)点D从A出发，运动速度为每秒5个单位，因此AD为5t。E点速度为每秒3个单位，因此E点运动距离CE=3t
根据勾股定理，AC=3，BC=4。斜边AB为5
当AD=AB时，AD=5t=5，t=1
此时CE=3，AE=AC+CE=6，DE=AE-AD=6-5=1
(2)△DEG与△ACB相似，因为两三角形都是直角三角形，所以只要直角边对应成比例就可以得到相似。
EF=BC=4，G是EF中点，所以EG=2。
△ACB两直角边的比是3：4，因此只要DE和EG比为3：4即可相似
①当D点在E点左侧，且EG：DE=3：4时，DE=8/3。
此时AE-AD=3+3t-5t=8/3，t=1/6
②当D点在E点左侧，且DE：EG=3：4时，DE=3/2，
此时AE-AD=3+3t-5t=3/2，t=3/4
③当D点在E点右侧，且DE：EG=3：4时，DE=3/2
此时AD-AE=5t-(3+3t）=3/2，t=9/4
④当D点在E点右侧，且EG：DE=3：4时，DE=8/3
此时AD-AE=5t-(3+3t）=8/3，t=17/6
题目不难，但很麻烦。要考虑到四种情况