Question

已知二次函数 f(x)满足条件：f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x. (1)求 f(x)的解析式。 （2）求f(x)在区间[-1,1] 上的

第二问最后几个字是“最大值和最小值”
谢谢、

Answer 1

f(0)=1
f(x+1)-f(x)=2x
f(1+0)-f(0)=2*0
f(1)=1
f(1+1)-f(1)=2*1
f(2)=3
设f(x)=ax^2+bx+c
把f(0)=1,f(1)=1,f(2)=3代入到函数中
1=c
1=a+b+c
3=4a+2b+c
解得a=1,b=-1,c=1
所以函数解析式为
y=x^2-x+1

y=x^2-x+1
=(x-1/2)^2+3/4
该函数是开口向上,对称轴x=1/2的抛物线
在[-1,1/2]为减函数,[1/2,0]为增函数
所以最小值为x=1/2时,y=3/4
当x=-1时有最大值,y=3

Answer 2

（1）
设二次函数为f(x)=ax²+bx+c
则依题意有a(x+1)²+b(x+1)+c-（ax²+bx+c）=2x
ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c=2x
2ax-2x+a+b=0
所以2ax-2x=0 a+b=0 解得a=1 b=-1
又因为f(0)=1，代入f(x)得c=1。
所以解析式为f(x)=x²-x+1

（2）f(x)=x²-x+1=x²-x+1/2²-1/2²+1=（x-1/2）²+3/4 对称轴为1/2
所以f(x)在区间[-1,1] 上的最大值为f(-1)=3，最小值为3/4