Question

已知F1、F2分别是椭圆x^2/100+y^2/64=1的左右焦点,椭圆内一点M(2,-6)

F1、F2分别是椭圆x^2/100+y^2/64=1的左右焦点,椭圆内一点M(2,-6)，P是椭圆上一个动点，则|PM|+5/3|PF2|的最小值是

Answer 1

由椭圆有a=10,b=8,c=6. F2(6,0).

右准线L：x=a^2/c=50/3.

如图，点P(x,y)到L的距离：|PN|=50/3-x。

由椭圆的第二定义，e=c/a=|PF2|/|PN|. 

即 |PN|=5/3|PF2|.

则 S=|PM|+5/3|PF2|=|PM|+|PN|。

由图易知，点P，M，N同线时，

Smin=|MN|=50/3-2=44/3。

Answer 2

解：∵F1、F2分别是椭圆x^2/100+y^2/64=1的左右焦点
∴右准线l：x=100/√（100－64)=50/3
椭圆内一点M(2,-6)
∵P是椭圆上一个动点
过点P作│PN│⊥l于N
∴|PF2|/│PN│=e=6/10=3/5
∴|PF2|=3/5│PN│
∴|PM|+5/3|PF2|=|PM|+│PN│
∴当M,N,P三点共线时，|PM|+│PN│最小
∴（|PM|+│PN│）min=50/3-2=44/3
∴（|PM|+5/3|PF2|）min=44/3