Question

已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时，f(x)＞1。

1、求f(0)
2、若f(1)=2,求f(2),f(3),f(4),f(8)
3、若f(4)=5,在R上是增函数，解不等式f(3m的二次方-m-2)＜3

Answer 1

解：已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1
令a=b=0有f(0+0)=f(0)+f(0)-1
所以f(0)=1
因为f(1)=2
则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)-1=2+2-1=3
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=2+3-1=4
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=3+3-1=5
f(8)=f(4+4)=f(4)+f(4)-1=5+5-1=9

（3）f(4)=5
f(2+2)=f(2)+f(2)-1=2f(2)-1=5
所以f(2)=3
又f(x)是R上的增函数
所以f(3m^2-m-2)<3=f(2)
所以3m^2-m-2<2
故3m^2-m-4<0
即(3m-4)(m+1)<0
所以-1<m<4/3