Question

如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN‖BC，设MN交角BCA的平分线于点E，交△ABC的外角角ACD

如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN‖BC，设MN交角BCA的平分线于点E，交△ABC的外角角ACD的平分线于点F
（1）试说明线段EO=FO
（2）是猜想：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由

Answer 1

解：1.由题可知，角BCE=角ECA，角ACF=角FCD，
又因为MN‖BC，所以角BCE=角CEF，角FCD=角EFC
故角ECA=角CEF，角ACF=角EFC
所以EO=OC，OC=OF
所以EO=FO
2，当点O运动到边AC的中点时，四边形AECF是矩形
因为由1易知角ECF是直角，且此时EF和AC互相平分。

Answer 2

：（1）猜想：OE=OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．