Question

已知函数f(x)=loga[(1/a-2)x+1]在区间[1，2]上恒为正值，求实数a的取值范围

Answer 1

若0<a<1
f(x)min=f(2）>0
loga[(1/a-2)2+1]>0
2(1/a-2)+1<1
(1/a-2)<0
所以a<2
a>1
f(x)min=f(1)
loga[(1/a-2)+1]>0
(1/a-2)+1>1
1/a-2>0
a>2
若a=1
则f(min)=1
1/a-2=0
而它不可能等于0
所以a的范围为a>0且a不等于-2

Answer 2

a>1时,问题转化为(1/a-2)x+1>1恒成立,即(1/a-2)x>0,而x>0恒成立,所以问题转化为1/a-2>0,即1/a>2,显然无解.
0<a<1时,问题转化为0<(1/a-2)x+1<1恒成立,即-1<(1/a-2)x<0,而x>0恒成立,所以1/a-2<0且1/a-2>-1/x(后式等价于1/a-2>-1/2),即-1/2<1/a-2<0,所以
3/2<1/a<2,所以1/2<a<2/3,
综上a的取值范围是(1/2,2/3)

Answer 3

设g（x）=（ 1/a -2）x+1，x∈[1，2]
所以g（x）=（ 1/a -2）x+1是定义域上的单调函数，
根据题意得
g(1)＞0
g(2)＞0
解得：0＜a＜2/3
因为函数 f(x)=loga[(1 / a -2)x+1]在区间上[1，2]的函数值大于0恒成立
所以 loga[(1 /a -2)x+1]＞0在区间上[1，2]恒成立
所以 loga[(1 /a -2)x+1]＞loga1在区间上[1，2]恒成立
因为0＜a＜2/3
所以 (1/a -2)x+1＜ 1在区间上[1，2]恒成立
即 (1 /a -2)x＜0在区间上[1，2]恒成立
所以 1/a -2＜0解得a＞1/ 2
所以
1/2＜a＜2/3