Question

教教我吧 大哥大姐叔叔阿姨

已知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的函数y=f(x)满足条件:对于定义域内任意X1,X2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).

⑴求证：f(1/x)=-f(x),且f(x)是偶函数；

⑵请写出满足上述条件的函数。

Answer 1

解这种题目建议你联系学过的知识点，联系一下当初是怎么证明的，就好做的多了。

对于这道题，应该想到的运算，应该是对数运算。

下面讲讲解题的过程。
第一问，首先需要计算f(1)
根据定义式得，f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
下面的计算又两种思路，第一种，是将定义式左移一项，就可以出现负号了。还有一种思路就是凑了，这种方法比较实用，但是初学者不易掌握。分别简单介绍一下。

（一）由于f（x1x2）=f（x1）+f（x2）所以f（x1）=f（x1x2）-f（x2）
那么f（1/x）=f（1）-f（x）=-f（x）
（二）由于f（x1x2）=f（x1）+f（x2）所以f（1）=f（1/x）+f（x），经过化简，就可以得出结果了。

两种思路的解题过程看起来很相似，但是解题过程中，却是从不同的角度去思考的，希望对你有帮助。
下面是证明偶函数。
偶函数的证明相对要简单许多了。首先按照计算f（1）的方法，分别令x1=-1，x2=-1，就可以得到f（-1）=0
另外，再令x1=-1，x2=x，就可以根据偶函数定义，得出这个函数是偶函数了。

第二问，想一想满足这些条件的函数，首先他大体上应该是一个对数函数，这一点是没有问题的。但是，它还必须是偶函数，在负半轴有定义所以x上就应该加上绝对值，为了满足所以的条件，添加几个参数就ok了，最终的答案应该是
f（x）=b*log(a)|x|
其中b不等于0，a>0且不等于1.

希望对你有帮助。

Answer 2

令x1=x2=1，则可得：
f(1)=f(1)+f(1)
即f(1)=0
再令x1=x，x2=1/x，则可得：
f(1)=f(x)+f(1/x)
即f(1/x)=-f(x)
再令x1=x2=-1，则可得：
f(1)=f(-1)+f(-1)
即f(-1)=0
再令x2=-1，则可得：
f(-x1)=f(x1)+f(-1)
即f(x)是偶函数
(2)、f(x)=C*ln|x|即满足条件，C为任意常数