Question

有关椭圆方程的问题。

F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1垂直PF2，且PF1＝PQ，求椭圆的离心率。

Answer 1

设焦点在X轴，F1(-c,0),F2(c,0),|PF1|=m,|PF2|=n,(m>0,n>0),
则m+n=2a,(1)
PF1⊥PF2，
|PF1|=|PQ|，
△PF1Q是等腰RT△，
|F1Q|=√2|PF1|=√2m,
|F2Q|=|PQ|-|PF2|=m-n,
|F1Q|+|F2Q|=2a,
√2m+m-n=2a,(2)
联立（1）式和（2）式，
m=4a-2√2a,
n=2√2a-2a,
根据勾股定理，
m^2+n^2=(2c)^2,
16a^2-16√2a^2+8a^2+8a^2-8√2a^2+4a^2=4c^2,
(c/a)^2=9-6√2,
c/a=√(9-6√2)=√(6-2√18+3)=√6-√3,
离心率e=c/a=√6-√3.

Answer 2

根号2