Question

一道中考数学压轴题——求高人详解TT

三角形ABC,角ACB=90度,角A=60度,AC=2,CD垂直于AB,垂足为D,任意作角EDF=60度,点E、F分别在边AC、BC上，设AE=x BF=Y
(1)求y关于x的函数关系式，并指出它的定义域。（2）当x为何值时，三角形BDF是等腰三角形。

Answer 1

解:依题意,AC=2,BC=2√3,AB=4,AD=ACcos60°=2*(1/2)=1

BD=AB-AD=4-1=3.

∵AE=x,∴CE=2-x.

∵BF=Y,∴CF=2√3-Y.

在RT△ECF中,EF^2=CE^2+CF^2=(2-X)^2+(2√3-Y)^2....(1)

在△EDF中,EF^2=ED^2+FD^2-2ED*FDcos∠EDF

=ED^2+FD^2-2ED*FDcos60°

=ED^2+FD^2-ED*FD...............................(2)

由△AED得ED^2=X^2+1-2Xcos60°=X^2-X+1............(3)

由△BDF得FD^2=Y^2+3^2-2*3ycos30°=y^2-(3√3)y+9...(4)

将(3)(4)代入(2)式,然后代入(1)式得

x^2-x+1+y^2-(3√3)y+9-√[(x^2-x+1)(y^2-3y√3y+9)]

=(2-x)^2+(2√3-y)^2

化简之,便得

[(√3)y+3x-6]^2=(x^2-x+1)(y^2-3y√3+9)

再化简整理得Y与X的函数关系式为:

F(X,Y)=(-X^2+X+2)Y^2+3√3(X^2+X-3)Y-27(X-1)=0

定义域:X∈[1/2,2],值域:Y∈[√3,2√3]

当X=2时,有(9√3)y-27=0,得y=27/9√3=3/√3=√3.

此时△BDF是等腰三角形(BF=FD=√3,BD=3).