Question

如图.点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC边上的一个动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F 解决2个问题.

（1）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？说明理由
（2）在（1）中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，说明理由

要求初二水平 过程详细

Answer 1

1,答:长:宽=2:1时.(即BC=2AB）

证明:因为ABCD是矩形,所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

又因为AD=2AB,且M为AD中点,所以AB=AM=MD

所以△BAM和△MDC是等要直角三角形.

所以∠AMB=∠DMC=45°

所以∠BMC=90°

因为四边形PEMF中,∠PEM=∠EMF∠MFP=90°

所以四边形PEMF是矩形.

2,答:当P运动到BC中点时,矩形PEMF是正方形.

证明:由1问知,四边形PEMF是矩形

因为AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°,所以∠ABM=∠MCD=45°

所以MC=MB,

在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP

∠FBP=∠CEP

BP=CP

所以△BFP和△CEP全等

所以FP=PE

因为矩形FPEM中邻边FP,PE相等

所以矩形FPEM是正方形.

Answer 2

证明:因为ABCD是矩形,所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

又因为AD=2AB,且M为AD中点,所以AB=AM=MD

所以△BAM和△MDC是等腰直角三角形.

所以∠AMB=∠DMC=45°

所以∠BMC=90°

因为四边形PEMF中,∠PEM=∠EMF∠MFP=90°

所以四边形PEMF是矩形.

2,答:当P运动到BC中点时,矩形PEMF是正方形.

证明:由1问知,四边形PEMF是矩形

因为AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°,所以∠ABM=∠MCD=45°

所以MC=MB,

在△BFP和△CEP中

∠FBP=∠ECP

∠FBP=∠CEP

BP=CP

所以△BFP和△CEP全等

所以FP=PE

因为矩形FPEM中邻边FP,PE相等

所以矩形FPEM是正方形.

Answer 3

（1）解：当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵PEMF为矩形，
∴∠PFM=90°=∠PFB=∠PEC，
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP
∠PFB=∠PEC
BP=CP
∴△BFP≌△CEP，
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

Answer 4

四边形PEMF为矩形，则∠BMC为直角，那么∠AMB=∠DMC=90°/2=45°
这时△MAB是等腰直角三角形，即AB=AM=AD/2
即长等于宽的2倍时，四边形PEMF为矩形。

四边形PEMF为正方形，则PE=PF，只有当P点位于BC的中点时，才满足。
这是因为此时MP正好将ABCD平分成两部分，这两部分关于直线MP对称
即PE=PF，同时DEPF是矩形，所以DEPF是正方形

Answer 5

（1）当四边形PEMF是矩形时，BC=2AB
证明:在矩形ABCD中
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
又∵AD=2AB,且M为AD中点
∴AB=AM=MD
∴△BAM和△MDC是等腰直角三角形.
∴∠AMB=∠DMC=45°
∴∠BMC=90°
在四边形PEMF中
∠PEM=∠EMF∠MFP=90°
∴四边形PEMF是矩形.
（2）当P运动到BC中点时,矩形PEMF是正方形.
证明:由（1）可得四边形PEMF是矩形
∵AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°
∴∠ABM=∠MCD=45°
∴MC=MB,
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP
∠FBP=∠CEP
BP=CP
∴△BFP≌△CEP（AAS）
∴FP=EP
又∵四边形PEMF为矩形
∴四边形PEMF是正方形.