求半径为R的圆内接矩形面积的最大值，周长的最大值
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解：设矩形的边长分别为2x、2y
则x^2+y^2=R^2
所以面积S=2x*2y=4xy≤2(x^2+y^2)=2R^2
周长C=2(2x+2y)=4(x+y)
因为x^2+y^2≥2xy
所以2(x^2+y^2)≥(x+y)^2
所以x+y≤√2*(x^2+y^2)
所以周长C=4(x+y)≤4√2*(x^2+y^2)=4√2R^2
则x^2+y^2=R^2
所以面积S=2x*2y=4xy≤2(x^2+y^2)=2R^2
周长C=2(2x+2y)=4(x+y)
因为x^2+y^2≥2xy
所以2(x^2+y^2)≥(x+y)^2
所以x+y≤√2*(x^2+y^2)
所以周长C=4(x+y)≤4√2*(x^2+y^2)=4√2R^2
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