Question

已知x>0,y.>0,且x+y=1，求下列最小值，（1）x^2+y^2 (2)1/x^2+1/y^2 (3)2/x+3/y (4) (x+1/x)*（y+1/y） （

已知x>0,y.>0,且x+y=1，求下列最小值，（1）x^2+y^2 (2)1/x^2+1/y^2 (3)2/x+3/y
(4) (x+1/x)*（y+1/y） （5）（x+1/x)^2+(y+1/y)^2 (6)(x+2)^2+(y+2)^ (7) (y+2)/(x+2)

Answer 1

解：已知x>0,y.>0,且x+y=1
（1）x^2+y^2≥2xy
2(x^2+y^2)≥(x+y)^2=1
x^2+y^2≥1/2
（2）1/x^2+1/y^2=(x+y)^2/x^2+(x+y)^2/y^2
=2+y^2/x^2+x^2/y^2+2y/x+2x/y
≥2+2√[(y^2/x^2)*(x^2/y^2)]+2√[(2y/x)*(2x/y)]
=2+2+2*2
=8
（3）2/x+3/y=(2x+2y)/x+(3x+3y)/y=2+2y/x+3x/y+3
=5+2y/x+3x/y
≥5+2√[(2y/x)*(3x/y)]
=5+2√6
（4）(x+1/x)*（y+1/y）=xy+x/y+y/x+1/xy
= xy + 1/(xy) + (x^2+y^2)/(xy)
= xy + 1/(xy) + (x^2+2xy+y^2)/(xy) -2
= xy + 1/(xy) + (x+y)^2/(xy) -2
= xy + 2/(xy) -2
求 f(z) = z + 2/z 的最小值，其中z=xy<=1/4
由于f(z)在(0,1/4]区间是单调递减函数（可以证明f(z)在(0,sqrt(2)]区间是单调递减函数，而1/4<sqrt(2),所以在(0,1/4]区间是单调递减函数），因此f(z)在(0,1/4]区间的最小值是f(1/4)=1/4+2/(1/4)=8+1/4
所以(x+1/x)*（y+1/y）的最小值=8+1/4-2=6+1/4=25/4
（5）（x+1/x)^2+(y+1/y)^2≥2(x+1/x)*（y+1/y）≥25/2
（6）(x+2)^2+(y+2)^2=x^2+4x+4+y^2+4y+4
=x^2+y^2+12≥1/2+12=25/2
（7）(y+2)/(x+2)=(1-x+2)/(x+2)=(3-x)/(x+2)=-1+5/(x+2)
0<x<1 2<x+2<3
所以5/3<5/(x+2)<5/2
所以2/3<(y+2)/(x+2)<3/2
所以(y+2)/(x+2)无最小值，因为它不能取到2/3

太多了，也不知道有没有做错的

Answer 2

1

Answer 3

2

Answer 4

1