Question

已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]

(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）∵对对数函数来说，真数＞0才有意义
∴（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立时，x才可以取任意实数；
当a²-1=0时，即a=-1时，不等式等价1大于0恒成立；
a=1时，-2x+1＞0不恒成立；
∴a=-1满足题意；
当a²≠1时，（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立；
需要a²-1＞0（函数图象开口向上）
解：a＞1或a＜-1
同时判别式△=（a+1）²-4（a²-1）＜0（与x轴无交点）
解：a＞5/3或a＜-1
综上：a＞5/3或a≤-1
（2）值域为全体实数，那么根据对数函数的图象可以知道：
真数（a²-1）x²+（a+1）x+1可以取＞0的任意实数才满足条件。
当a²-1=0；
a=1时，真数为：2x+1，是可以取到任意大于0的实数，所以满足题意；
a=-1时，真数为：1，只能取1，不满足题意；
当a²-1≠0时；如果要取到大于零的所有实数，那么需要
a²-1＞0（函数开口方向往上），a＞1或a＜-1
判别式
△=（a+1）²-4（a²-1）≥0（只有函数图象与x轴有交点，才可能取大于零的所有实数）
解：-1≤a≤5/3
综上：1≤a≤5/3

Answer 2

(1)
f(x)的定义域为(－∞,+∞)，即无论x取何值，(a^2-1)x^2+(a+1)x+1 的值要恒大于0
令此二次函数开口向上，Δ＜0 即可
a^2-1 ＞0
Δ= (a+1)^2- 4(a^2-1)＜0
（a=-1亦满足要求）
两式上式，解得：a≤-1 或 a＞5/3

(2)
f(x)的值域为(－∞,+∞)，即(a^2-1)x^2+(a+1)x+1 的值要从0至+∞都能取到
令此二次函数开口向上，Δ≥0即可
a^2-1 ≥0 （等号也可以）
Δ= (a+1)^2- 4(a^2-1)≥0
两式联立，解得：1≤a≤5/3