Question

已知二次函数f(x)的二次项系数是a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）

（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

Answer 1

(1)令f(x)=ax^2+bx+c
不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）
那么ax^2+(b+2)x+c=a(x-1)(x-3)=ax^2-4ax+3a 且a<0
得b+2=-4a,c=3a
方程f(x)+6a=0有两个相等的根
那么b^2-4a(6a+c)=0
得(-4a-2)^2-4a(6a+3a)=-20a^2+16a+4=0
得a=-1/5或a=1(舍，因为a<0)
所以a=-1/5, b=-6/5, c=-3/5
f(x)=-1/5x^2-6/5x-3/5

(2)f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
最大值为[4a*3a-(4a+2)^2]/(4a)>0
所以-(a^2+4a+1)/a>0
等价于a(a^2+4a+1)<0
得a<-2-√3或-2+√3<a<0