Question

D,E分别是三角形ABC的边BC和AB上的点,三角形ABD与三角形ACD的周长相等,三角形CAE与三角形CBE的周长相等

D,E分别是三角形ABC的边BC和AB上的点,三角形ABD与三角形ACD的周长相等,三角形CAE与三角形CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.(1)求AE和BD的长;(2)若角BAC=90°,三角形ABC的面积为S,求证:S=AE乘BD

Answer 1

（1）
∵AB＋BD＝AC＋CD
c＋（a－CD）＝b＋CD
2CD＝a－b＋c
∴CD＝（a－b＋c）／2
BD＝BC－CD＝a－（a－b＋c）／2
＝（a＋b－c）／2
∵BC＋BE＝AC＋AE
a＋（c－AE）＝b＋AE
2AE＝a－b＋c
∴AE＝（a－b＋c）／2
答：AE的长为（a－b＋c）／2，BD的长为（a＋b－c）／2。
（2）
∵ΔABC是直角三角形，且AB⊥AC。
∴SΔABC＝bc／2
∵AE×BD＝〔（a－b＋c）／2〕×〔（a＋b－c）／2〕
＝〔a＾2－（b－c）＾2〕/4
＝（a＾2－b＾2＋2bc－c＾2）/4 （其中：a＾2＝b＾2＋c＾2）
＝bc／2
即：SΔABC＝AE×BD
证毕。