Question

高数等价替换问题

为什么x不能替换成sinx呢？

Answer 1

加减法不能替换的
因为sinx~x+O(x^3)
如果分母是O(x^3)阶的那么这个三阶以上小量就不能舍去的
例如
(sinx-x)/x^3
你如果替换了，答案是0，但是你用洛必达可以发现是-1/6

此题应该使用加一项减一项的手法
=[x^2+f(x)]/(x^2sin^2x)+(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)
=1+(sin^2x-x^2)/(x^2sin^2x)
第二个是0/0,洛必达
=1+(2sinxcosx-2x)/(2xsin^2x+2x^2sinxcosx)
=1+(sin2x-2x)/(2xsin^2x+x^2sin2x)
第二个是0/0,洛必达
=1+(2cos2x-2)/(2sin^2x+4xsinxcosx+2xsin2x+2x^2cos2x)
=1+(cos2x-1)/(sin^2x+2xsin2x+x^2cos2x)
分子等价替换，因为是乘除
=1+(-(2x)^2/2)/(sin^2x+2xsin2x+x^2cos2x)
=1-x^2/(sin^2x+2xsin2x+x^2cos2x)
=1-2/[sin^2x/x^2+2sin2x/x+cos2x]
取极限，分母sinx/x->1,sin2x/x->2
=1-2/[1+2*2+1]
=2/3

Answer 2

其实你应该搞清楚一个问题，什么是等价无穷小替换的基本思想。如果死记硬背无穷小替换，是很容易出错的。你可以把无穷小替换看成是泰勒公式的展开，那么略却掉后边项产生的误差是高于几阶的无穷小。当你在一个含有加减的式子中进行替换的时候特别要注意，这些替换之间再进行计算时是否会产生无穷小抵消等问题。