Question

求下列函数的最值

1.已知x＞0，求证：y=2-x-4/x 的最大值
2.已知x＞2，求证：y=x+1/（x-2）的最小值
3.已知0＜x＜1/2，求y=1/2x（1-2x）的最大值

Answer 1

1.y=2-(x+4/x)≤2-2√（x*4/x）=2-2*2=-2
当且仅当x=4/x,即x=2时等号成立
所以最大值为-2

2. y=x-2+1/(x-2)+2≥2√[(x-2)*1/(x-2)]+2=2+2=4
当且仅当x-2=1/(x-2),即x=3时等号成立
所以最小值为4

3. y=-x²+x/2=-(x-1/4)²+1/16
0<x<1/2
所以当x=1/4时，y有最大值1/16

Answer 2

1.y=2-(x+4/x)
因为 x+4/x的最小值是3（当且仅当x=2）
所以y的最大值为-1
2 y=x+1/（x-2）
y=(x-2)+1/（x-2）+2
所以 (x-2)+1/（x-2）的最小值为2（当且仅当x=3）
所以y=x+1/（x-2）的最小值的4
3 y=1/2x(1-2x) 即y=1/2x-1（ 变形得出） ，

所以当X趋近于0时 ，2x无限接近于0，所以1/2x无限大，所以1/2x-1无限大，所以y无限大 即为正无穷。。。。。当X为1/2时（不能为1/2，为1/2时分母为零无意义)Y=1-1=0(临界值）所以最小值为

Answer 3

第一题：
x>0,x+4/x>=2*4^(1/2)=4,在x=2时取得

-x-4/x<=-4

2-x-4/x<=-2

y<=-2

最大值-2，在x=2时取得

第二题：
y=x-2 +1/(x-2) +2 （x大于2，x-2为正数）

用均值不等式得，y≥2+2=4 （当且仅当3是取等号）

第三题：
x(1-2x)=(1/2)[2x(1-2x)]≤(/2)(2x+1-2x)^2/4=1/8
所以当且仅当2x=1-2x,即x=1/4时,y的最小值是1/16
利用基本不等式:a,b为正数，有a+b≥2√ab,则ab ≤(a+b)^2/4

Answer 4

1.2-x减函数-4/x增函数 无法判定
求导 y'=-1+4/x^2
令y'=0
x^2=4 x=2
f(max)=-2
2.用均值不等式
y=x+1/(x-2)>=2√(x/x-2)当且仅当x=1/(x-2)时有最小值
x^2-2x-1=0
x=1+√2
f(min)=2√(1+√2)/(√2-1)=2√(1+√2)^2=2+2√2
3.0<x<1/2
则1-2x>0 (1/2)x>0
所以反用均值不等式(x/2)(1-2x)<=(x/2)^2+(1-2x)^2
当且仅当x/2=1-2x时等号成立
此时(x/2)(1-2x)取得最大值
解得x=2/5
此时最大值为1/25