Question

证明∫sinx/sinx+cosxdx=∫cosx/sinx+cosxdx=π/4 ，积分上限是π/2，下限是0

Answer 1

证明如下图：

常用积分法：

1、换元积分法

如果

（1）  ;

（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;

（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

则 

2、分部积分法

设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：

扩展资料：

定积分的几个性质：

1、积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

2、所有在 Z上可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足：

3、所有在可测集合Z上勒贝格可积的函数f和g都满足：

4、在积分区域上，积分有可加性。黎曼积分意义上，如果一个函数f在某区间上黎曼可积，那么对于区间内的三个实数a, b, c，有

5、如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

Answer 2

换元法令t=（π/2） -x，那么x=（π/2）-t，dx=-dt，积分限t上限是0，下限是（π/2）
∫[0，π/2] [sinx/（sinx+cosx）]dx=
∫[π/2，0] sin（（π/2）-t）/（sin（（π/2）-t）+cos（（π/2）-t））d（（π/2）-t）
=∫[π/2，0] -sint/（cost+sint）dt
=∫[0，π/2] cost/sint+cost dt
=∫[0，π/2] cosx/（sinx+cosx） dx

又因为∫[0，π/2] [sinx/（sinx+cosx）]dx+∫[0，π/2] cosx/（sinx+cosx） dx
=∫[0，π/2] 1 ×dx
=π/2

所以
∫[0，π/2] sinx/（sinx+cosx）dx=∫cosx/（sinx+cosx）dx=π/4

Answer 3

追问

追答

相等的，在定积分中只要积分限不变的话，变量可随意更换