Question

高一数学题：已知函数f（x）=ax^2-|x-a| 当a＞0时，求函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值

Answer 1

x≥a时，有f(x)=ax²-x+a=a[x-1/(2a)]²+a-1/(4a)
当1/(2a)位于此区间时，即0<a<=√2/2时，最小值为f(1/(2a))=a-1/(4a)
当1(2a)不在此区间时，即a>√2/2,最小值为f(a)=a³
0=<x<a时，有f(x)=ax²+x-a=a[x+1/(2a)]²-a-1/(4a), 最小值为f(0)=-a
因为a>0,必有a³>-a
由a-1/(4a)>=-a,得：a>=√2/4

比较得结果：
当0<a<=√2/4时，最小值为a-1/(4a)
当a>√2/4时，最小值为-a

Answer 2

x>=a，f(x) = ax^2 - x + a，对称轴 x = 1/(2a) > 0，所以，最小值在对称轴处取得 a - 1/(4a)
0<=x <= a， f(x) = ax^2 + x - a，对称轴 x = -1/(2a)，取值范围在对称轴右边，所以，最小值在 x = 0 取得 -a

比较 a - 1/(4a) 和 -a 的大小，求差

2a - 1/(4a) = (8a^2 - 1) / (4a)
所以 0<a<= sqrt(2)/4 时，最小值 a -1/(4a)
a>= sqrt(2)/4时， 最小值 -a