Question

已知一个圆与y轴相切，圆心C在直线L1:x–3y=0上，且在直线L2:x-y=0上截的弦长为2√7

已知一个圆与y轴相切，圆心C在直线L1:x–3y=0上，且在直线L2:x-y=0上截的弦长为2√7，求圆c的方程

Answer 1

设圆心坐标（a,b)
因为圆C与y轴相切 所以r=a
根据几何关系得d^2=r^2-(√7)^2
根据点到直线距离公式得d^2=[(a-b)^2]/2
所以r^2-(√7)^2=[(a-b)^2]/2 ①
又因为圆心C在直线l:x-3y=0上
所以a=3b ②
联立①②解得
a=±3 b=±1
所以圆C的方程为（x±3)^2+(y±1)^2=9
即
圆C的方程为（x+3)^2+(y+1)^2=9或（x-3)^2+(y-1)^2=9

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Answer 2

设圆心纵坐标为p

因为 圆心在直线 x-3y=0 上
所以 圆心横坐标为 3p，即圆心(3p, p)
由题意，圆半径为 ∣3p∣

所以 圆方程为 (x-3p)^2+(y-p)^2=9p^2
把直线 x-y=0 代入圆方程：(x-3p)^2+(x-p)^2=9p^2
整理得 2x^2-8px+p^2=0
根据韦达定理，x1+x2=4p, x1*x2=p^2/2
所以 (x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4x1*x2 = 16p^2-2p^2 = 14p^2
所以 (y1-y2)^2 = (x1-x2)^2 = 14p^2
所以 两点间距离，即弦长 = √(28p^2) = ∣2p∣√7 = 2√7
所以 p=±1
所以 圆方程是 (x-3)^2+(y-1)^2=9 或者 (x+3)^2+(y+1)^2=9