Question

已知三次方程x^3-6x+2=0有三个实根,试估计这三个根的大概位置...

Answer 1

答：
x^3-6x+2=0
设函数f(x)=x^3-6x+2
求导：f'(x)=3x^2-6=3(x^2-2)
解f'(x)=0得x1=-√2，x2=√2
x<-√2或者x>√2时，f'(x)>0，f(x)是增函数
-√2<x<√2时，f'(x)<0，f(x)是减函数
x=-√2是极大值点f(-√2)=-2√2+6√2+2=4√2+2>0
x=√2是极小值点f(√2)=2√2-6√2+2=-4√2+2<0
所以：f(x)=0存在3个不同的实数根
f(-2)=-8+12+2=6<0

f(-3)=-27+18+2=-7<0
——有一根在区间（-3，-2）之间
f(0)=2>0
f(1)=1-6+2=-3<0
——有一根在区间（0，1）之间
f(2)=8-12+2=-2<0
f(3)=27-18+2=11>0
——有一根在区间（2，3）之间
所以：三个根的大概位置在区间（-3，-2）、（0，1）、（2，3）

Answer 2

设函数f(x)=x^3-6x+2，则有f(-3)=-7<0,f(-2)=6>0,
由零点存在定理，f(x)z在区间（-3,-2）里面有一个根，
同理，计算f(0)=2>0,f(1)=-3<0,因此f(x)有根在（0,1）里面，
在验证f(2)=-2<0,f(3)=9>0,所以有根在（2,3）

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