Question

若函数f(x)=(4-x^2)(x^+mx+n)的图像关于直线x=3对称,则f（x）的最大值为？

Answer 1

f(x)=(4-x^2)(x^2+mx+n) 吗？？？就按这个解答。

因为 f(x) 的图像关于直线 x=3 对称，
所以对任意实数 x ，f(x)=f(6-x) 恒成立，
即 (4-x^2)(x^2+mx+n)=[4-(6-x)^2][(6-x)^2+m(6-x)+n] ，
化简得 (-2m-24)x^3+(18m+216)x^2+(-12n-100m-816)x+36n+192m+1152=0，
因此 -2m-24=0 ，18m+216=0 ，-12n-100m-816=0 ，36n+192m+1152=0 ，
以上可解得 m= -12 ，n=32 ，
所以 f(x)=(4-x^2)(x^2-12x+32)=-x^4+12x^3-28x^2-48x+128 ，
f '(x)= -4x^3+36x^2-56x-48 ，
令 f '(x)=0 ，得 x1=3-√13，x2=3 ，x3=3+√13 ，
可知函数在 （-∞，x1）上增，在（x1，x2）上减，在（x2，x3）上增，在（x3，+∞）上减，
所以函数在 x=x1 和 x=x2 上取最大值，
计算得最大值为 f(x1)=f(x2)=144 。

计算量太大，脑细胞损失了百分之。。。。。

Answer 2

f(3-x)=f(3+x)
f(2)=f(4) 0= -12(16+4m+n)
f(1)=f(5) 3(1+m+n)=-21(25+5m+n)
解得 m = -12, n = 32
f(x)=(4-x^2)(x^2-12x+32)=-(x+2)(x-2)(x-4)(x-8)
=-[(x-3)-5][(x-3)-1][(x-3)+1][(x-3)+5]
=-[(x-3)^2-25][(x-3)^2-1]
=-(x-3)^4+26(x-3)^2-25
=-[(x-3)^2-13]^2+144≤144
最大值为144.

Answer 3

因为函数关于x=3对称，则f(2)=f(4），4m+n-192
f（0）=f（6），8m+n=-96
解得m=29，n=-328
则f（x）=-x^4-29x^3+332x^2+116x-1312
求导
f导（x）=-3x^3-87x^2+664x+116.
因为f（x）关于直线x=3对称，带人x=3，f导（x）=1012＞0，所以当x=3时，f（x）取最大值。
f（x）的最大值=1160