Question

有没有正整数a，b，使得a+b，a^2+b^2,a^3+b^3都是完全平方数

Answer 1

没有满足条件的正整数。
证明：假设存在正整数a，b满足a+b，a²+b²，a³+b³为完全平方数
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
由于a+b，a³+b³为完全平方数，则a²-ab+b²也是完全平方数。
又a²-2ab+b²=(a-b)²也是完全平方数，故有a²-2ab+b²，a²-ab+b²，a²+b²均为完全平方数。
显然a²-2ab+b²，a²-ab+b²，a²+b²三个数为以ab为公差的等差数列，而三个完全平方数为等差数列是不可能的。故假设错误，即没有满足条件的正整数。
证毕。
附证三个完全平方数不可能为等差数列。
设正整数x、y、z的平方为等差数列。即有x²+z²=2y²=(√2y)²，y为正整数，√2y不可能为正整数。
故假设不成立。即三个完全平方数不可能为等差数列。证毕。

追问

7^2=49
13^2=169
17^2=289

Answer 2

你好！
这样的a,b不存在。
证明：只需证（a^2+b^2）、（a^2+b^2-ab）和（a+b）不能都是平方数即可。以下讨论的变量均为正整数。“（a,b）”表示a,b最大公约数。
反证，若存在，不妨记a^2+b^2=z^2; a^2+b^2-ab=y^2, a+b=x^2。
不难得出：x,y,z奇偶性相同。整理前面的式子有：x^4+2y^2=3z^2。此时只用考虑x^2,y,z两两互素的解【这是因为：譬如x^2,y的最大公约数（x^2,y)=p,则由前面的式子不难得到p整除z。这时将x^4+2y^2=3z^2两边同除以p^2有：(x^2/p,y/p)=1,且（x^2/p,y/p，z/p)是方程的一组解。如此这般总能找到两两互素的解使得方程成立。】再由x,y,z奇偶性相同，知x,y,z均为奇数。否则最大公约数为2，这与约定不符。
进一步观察方程x^4+2y^2=3z^2，可以推出，x^2除以3余1，y除以3于1。
对x^4+2y^2=3z^2变形有：（x^2-y)(x^2+y)=3(z-y)(z+y) 即【（x^2-y)/2】 【（x^2+y)/2】=3【(z-y)/2】 【(z+y)/2】。
记c=【（x^2-y)/2】;d=【（x^2+y)/2】;e=【(z-y)/2】;f=【(z+y)/2】；上式即cd=3ef.由前面讨论知，c是3的倍数，有：[c/3]d=ef.注意到x,y,z两两互素，这保证了(c,d)=(e,f)=1=(c/3,d)。故c/3=e,d=f。
又f-e=d-c，矛盾，得证。
希望我的回答能帮助到你！

Answer 3

没有正整数a，b，使得a+b，a^2+b^2,a^3+b^3都是完全平方数
证明还没想好a^3+b^3=（a+b）（a^2+b^2-ab）

（a^2+b^2）与（a^2+b^2-ab）、（a+b）、（a^3+b^3）证明不能都是完全平方式。