Question

已知AD是△ABC边BC上的中线,AE是△ABD边BD上的中线,BA=BD求证AC=2AE

Answer 1

证明：延长AE到F，使EF=AE
在△ABE与△FDE中，
∵BE=DE （∵AE是△ABD边BD上的中线）
∠AEB=∠DEF （对顶角）
EF=AE
∴△ABE≌△FDE （边，角，边）
∴∠EDF=∠ABE，DF=AB
在△ADF与△ACD中，
∵DF=AB=CD （∵AD是△ABC边BC上的中线，且BA=BD ）
∠ADF=∠ADE+∠EDF
=∠BAD+∠ABE （∵BA=BD ）
=∠ADC （三角形的外角定理）
AD=AD （公共边）
∴△ADF≌△ACD （边，角，边）
∴AC=AF=AE+EF=2AE （∵EF=AE）
故AC=2AE ，证毕。