Question

如图,抛物线Y=X²-4X+3与坐标轴交于A、B、C三点,点P为抛物线上一点，PE⊥BC 于E，

且CE=3PE，求P点坐标

Answer 1

抛物线y=x*x-4x+3与坐标轴交于A、B、C三点，由抛物线方程可知A、B、C三点的坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），从而可知直线BC的方程为y=-x+3.设P点坐标为（x3，y3），E点坐标为（x4，y4）。因为E点在直线BC上，所以E点坐标也可写为E（x4，-x4+3）。由于直线PE垂直于直线BC，由两直线垂直的充要条件k1*k2=-1可知，直线PE的斜率为1。故将直线PE的方程设为y=x+c（c值未知）。将E点坐标E（x4，-x4+3）带入直线PE的方程，可知-x4+3=x4+c，从而c=3-2*x4。因为P点在直线PE上，所以P点坐标也可以写为P（x3，x3+c），由c=3-2*x4，可知E点坐标又可写为（x3，x3+3-2*x4）。
C点坐标为C（0，3），P点坐标为P（x3，x3+3-2*x4），E点坐标为E（x4，-x4+3）所以，由两点间的距离公式可得，CE=√2x4，PE=√2(x3-x4),由题目已知条件PE/CE=1/3，可知x4/(x3-x4)=1/3,从而得知x4=3*x3/4.因为P点是抛物线上的点，将P点坐标P(x3,x3+c)及c=3-2*x4带入抛物线方程可求得x3的值为x3=7/2，从而可知x4=3*x3/4=21/8, c=3-2*x4=-9/4。此时，P点坐标P（x3，x3+c）就已经求出来了，即为P（7/2,5/4）。

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