Question

一道抽象函数题目

定义在（0，+∞）上的f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，
（1）求f（1）的值
（2）证明f（1/x）=-f（x）；
（3）判断函数f（x）的单调性
（4）若f（2）=1，解不等式f(x)-f(1/(x-3))≥2

Answer 1

（1） 1属于区间(0,+∞)，由f(1*1) = f(1)+f(1)，得f(1) = 0；

（2） 由f((1/x) * x) = f(1/x) + f(x) = f(1) = 0，知f(1/x) = -f(x)
；

（3） 设0<x<y，由f(y) = f(x * (y/x)) = f(x) + f(y/x)，
又因为y/x > 1，由题意知f(y/x) < 0，故f(y)<f(x) (y>x)，函数单调递减；

（4） 由 (2)知，f(x)-f(1/(x-3)) = f(x) + f(x-3)，
又由f(xy) = f(x)+f(y)，得f(x)+f(x-3) = f(x*x-3*x) >= 2，
f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2) = 2，
由函数单调性，可知x*x-3*x <= 4，即 (x-4)(x+1) <= 0，
解此不等式得： -1 <= x <= 4