Question

已知函数f(x)＝log1/2 (x2－2ax＋3),若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；

∵f(x)的值域为R，∴u＝g(x)的值域为(0，＋∞)，
∴Δ＝4a2－12≥0，即a≥根号3或a≤－根号3.
∴实数a的取值范围是(－∞，－根号3]∪[根号3，＋∞)．
我的问题：为什么Δ=0可以取到？如果Δ=0，即y=x^2－2ax＋3与x轴相切，则y=0，y=0,对数函数不是无意义吗？
求解答！谢谢！！

Answer 1

你是被 log1/2(x) 中 x>0 迷惑了。
也说明你没有真正理解：y=loga(x) 的定义域为 R+ ，值域为 R 这句话的含义。
事实上，y=loga(x) 的定义域为 R+ ，是说 x 要取遍所有正数，这时才有 y 值域为 R 。
只要 y=loga(x) 的 x 有一个正数取不到，y 的值域中就缺少一个实数（如 x ≠ 2，则 y ≠ loga(2) ）。
所以，要使 y=log1/2(x^2-2ax+3) 的值域为 R ，一定要使 x^2-2ax+3 能取遍所有正数，也就是 x^2-2ax+3 的最小值为 0 或负数，因此判别式>=0 。
至于 x^2-2ax+3 取负数时对数无意义，这是很自然的，0 和负数没对数嘛。可是为什么要它取负数呢？？就像 loga(x) 中的 x 一样，只取正数不取负数不就得了吗？
再重复一遍那句话的含义：y=loga(x) 只有 x 能取遍所有正数，y 的值域才是 R 。

追问

您的意思是：先不管有没有意义，先根据题意：使 x^2-2ax+3 取遍所有正数，如果把判别式=0去掉，则去掉一个相应x，就不能取到全部实数了。

Answer 2

Δ=0，表明 x^2-2*a*x+3=0有根，但此根不在f(x)的定义域内，不用考虑
Δ=0 x^2-2*a*x+3=（x±√3）²
f(x)=2log[1/2] |x-√3| 或f(x)=2log[1/2] |x+√3|
f(x)=2log[1/2] |x-√3| 定义域为x≠√3
因|x-√3|取遍(0,+∞） 所以其值域为R
f(x)=2log[1/2] |x+√3|是类似的

Δ>0 x^2-2*a*x+3=0有两根x1<x2,定义域（-∞，x1)∪（x2，+∞)
x^2-2*a*x+3 在区间（x2，+∞)就能取遍(0,+∞） 所以其值域为R

Δ<0 则x^2-2*a*x+3=(x-a)²-Δ/4≥-Δ/4 无法取遍(0,+∞） ，值域不为R
注：值域应该是(-∞,log(1/2)(-Δ/4)】

Answer 3

对数函数y=lgx, 若x的定义域是x>0，但如果在这个定义域上再有别的限制时，比如x>1，x<9之类的。这样y也就有了限制，值域就不再是R了。所以这题的关键是值域是R，说明 x2-2ax+3能够取到所有的正数。也就是变成了这个二次函数必须能够取到所有的正数。所以要求Δ>=0,只有这个时候，才能取到所有的正数。至于这个二次函数小于0和等于0的时候，实际上没有意义的。但这题问的是值域，跟定义域无关。不要抓着定义域无关。

Answer 4

这是考虑f(x)的值域为R的极限情况，
f(x)=∞时，u=g(x)=(1/2)^∞=0，
如果u取不到0，则f(x)不能为∞，只能是有限域。