Question

数学不等式问题（放缩法）

谁能提供些常用放缩法的典型？
高考数列上经常用到的

Answer 1

放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。
所谓放缩法，要证明不等式A>B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，常用的放缩技巧有：（1）舍掉（或加进）一些项；（2）在分式中放大或缩小分子或分母；（3）应用基本不等式进行放缩
放缩法的理论依据主要有：1.不等式的传递性；2.等量加不等量为不等量；3.同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法

注意：1.放缩的方向要一致。 2.放与缩要适度
放缩法主要运用在不等式证明上,如果有的不等式证明很难下手就可以试试放缩法

例1 已知 ,求证：

分析 由可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式，从而得出结论。

证明 设且。

对任意，有

将上述各式叠加：

例 2 求证：

分析 左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。

证明

例 3

分析 左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。

证明

Answer 2

在验证不等式以及求证数列的过程中都有可能会遇到放缩过程
应该说放缩法是一个很需要技巧的方法，这里仅仅列举几例较为常见的放缩，还有待楼主做好一定的积累工作。

Ⅰ.1/k^2 的放缩(1)

1/[k(k+1)] < 1/k^2 < 1/[k(k-1)]

Ⅱ.1/√k 的放缩

2/(√k+√k+1) < 2/(2√k) < 2/(√k+√k-1)

Ⅲ.1/k^2 的放缩(2)

1/k^2 < 1/(k^2-1) = 1/(k+1)(k-1) = (1/2)[1/(k-1)-1/(k+1)]

Ⅳ.1/k^2 的放缩(3)

1/k^2 = 4/(4k^2) < 4/(4k^2-1) = 2[1/(2k-1)-1/(2k+1)]

Ⅴ.变量集中法

|a+b|/(1+|a+b|)=1/(1/|a+b| + 1) <= (|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)

Ⅵ.构造函数法(沿用Ⅴ的例子)

f(x) = x/(1+x) (x>=0)
从而实现函数性质的放缩 f(|a+b|) <= f(|a|+|b|)

Answer 3

1/n-1/(n+1)<1/n^2<1/(n*n-1)=1/(n-1)-1/nX/(X+1)<ln(X+1)<X.