Question

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x-y）=f（x）-f（y），f（2）＝1 （1）求f

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x-y）=f（x）-f（y），f（2）＝1
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．

Answer 1

答：
f(x)定义域为R，满足f(x-y)=f(x)-f(y)，f(2)=1

1）令x=y有：x-y=0
f(0)=f(x-y)=f(x)-f(x)=0
f(0)=0

2）设x+y=0有：y=-x
f(0)=f(x+y)=f[x-(-y)]=f(x)-f(-y)=f(x)-f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是奇函数

3）f(x)+f(2+x)<2
f(2+x)<2-f(x)=f(2)+f(2)-f(x)
f(2+x)-f(2)<f(2)-f(x)
f(2+x-2)<f(2-x)
f(x)<f(2-x)
没有条件判断f(x)的增减性，无法解答不等式，请检查题目

追问

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x-y）=f（x）-f（y），且f（2）＝1，当x大于0时，f（x）
大于0
求（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．

追答

x>0时f(x)>0：设x-y>0，则f(x-y)>0
所以：f(x-y)=f(x)-f(y)>0
所以：f(x)>f(y)
因为：x>y
所以：在R上f(x)是单调递增函数

f(x)+f(2+x)<2
f(2+x)<2-f(x)=f(2)+f(2)-f(x)
f(2+x)-f(2)<f(2)-f(x)
f(2+x-2)<f(2-x)
f(x)<f(2-x)
所以：x<2-x
所以：x<1

追问

这个和上面的是连接着的吗？

追答

接原来3）

Answer 2

答：f(x)定义域为R,满足f(x-y)=f(x)-f(y),f(2)=11）令x=y有：x-y=0f(0)=f(x-y)=f(x)-f(x)=0f(0)=02）设x+y=0有：y=-xf(0)=f(x+y)=f[x-(-y)]=f(x)-f(-y)=f(x)-f(-x)=0所以：f(-x)=-f(x)所以：f(x)是奇函数3）f(x)+f(2+x)