Question

请问一元二次不等式怎么解？

Answer 1

对于高中“解一元二次不等式”这一块，
通常有以下两种解决办法：
① 运用“分类讨论”解题思想；
② 运用“数形结合”解题思想。

以下分别详细探讨。

例1、解不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0。

解法①：原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
两部分的乘积大于等于零，
等价于以下两个不等式组：

（1） x -- 4 ≥ 0 或 （2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0

解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）
解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”）

∴不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。
其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪ [ 4，+ ∞）。

解法②：原不等式可化为：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。

∴ (x -- 1)² ≥ 9

∴ x -- 1 ≥ 3 或 x -- 1 ≤ -- 3

∴ x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。

∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪ [ 4，+ ∞）。

解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，
如本题，用求根公式求得方程 x² -- 2x -- 8 = 0
的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 下同解法①。

体会：以上三种解法，都是死板板地去解；
至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。

下面看“数形结合”法。

解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像
开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和 (4，0)，
显然，当自变量的取值范围为 x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时，
图像在 x 轴的上方；
当自变量的取值范围为 -- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在 x 轴的下方。

∴ 当x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时，x² -- 2x -- 8 ≥ 0，
即：不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2。

顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在 x 轴的下方，即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0，
∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。

领悟：对于ax² + bx + c ＞ 0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；
对于ax² + bx + c ＜ 0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。

例2、解不等式 x² + 2x + 3 ＞ 0。

在实数范围内左边无法进行因式分解。

配方得：(x + 1)² + 2 ＞ 0。
无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零。
∴ 该不等式的解集为 x ∈ R。

用“数形结合”考虑，
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 x ∈ R。

例3、解不等式 x² + 2x + 3 ＜ 0。

在实数范围内左边无法进行因式分解。

配方得：(x + 1)² + 2 ＜ 0。
无论 x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零，
∴ 该不等式的解集为 空集。

用“数形结合”考虑，
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 空集。

注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是
“含有参数的不等式”。

同学您好，如果问题已解决，记得采纳哦~~~您的采纳是对我的肯定~
祝您在新的一年一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同心，十全十美。

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