Question

已知x1,x2是关于x的方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的两个实数根，求x1²+x2²的最大值

Answer 1

由韦达定理
x1+x2=k-2
x1x2=k²+3k+5
△=（k-2)²-4(k²+3k+5)≥0
解得-4≤k≤-4/3
x1²+x2²=（k-2）²-2（k²+3k+5）
=-k²-10k-6
=-(k+5)²+19
当k=-4时
x1²+x2²取最大值18

Answer 2

首先确定k的范围，判别式=（k-2)^2-4(k^2+3k+5)=-3k^2-16k-16=-(3k^2+16k+16)=-(3k+4)(k+4)>=0
得到：-4<=x<=-4/3
若果你坚持题目中的两个根是不等实根，可以不要等号
再由韦达定理：x1+x2=k-2, x1*x2=k^2+3k+5
化简x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=-k^2-10k-6
开口向下的抛物线，对称轴在x=-5
所以最大值在k=-4取到，为-16+40-6=18
最小值在k=-4/3取到，为-16/9+40/3-6=50/3