Question

函数y=lg(3-4x+x^2)的定义域为M，x∈M时，求f(x)=2^x+2-3·4^x的单调性和最值

Answer 1

由3-4x+x^2>0解得x>3或x<1,∴M=(-∞,1)∪(3,+∞)
令t=2^x，则t∈(0,2)∪(8,+∞)
且 y=f(x)=-3t^2+t+2=-3(t-1/6)^2+25/12
令t=1/6=>x=-lg6/lg2
则当x∈(-∞,-lg6/lg2)时，t关于x的指数函数是增函数，而y关于t的二次函数
也是增函数，故f(x)在(-∞,-lg6/lg2)上单调递增；
当x∈(-lg6/lg2,1)和x∈(3,+∞)时，t关于x的指数函数是增函数，而y关于t
的二次函数是减函数，故f(x)在(-lg6/lg2,1)和(3,+∞)上单调递增。
由于y=f(x)=-3t^2+t+2=-3(t-1/6)^2+25/12 (t∈(0,2)∪(8,+∞))
知当t=1/6时y有最大值25/12，无最小值。