Question

设0<α,β<π/2,则α+β=π/2是sin^2α+sin^2β=sin^2(α+β)的什么条件？

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

Answer 1

充分性是显然的
必要性，由 sin^2a+sin^2b=sin^2(a+b)
(sa)^2 + (sb)^2 = (sa*cb + ca+sb)^2
(sa)^2 + (sb)^2 = (sa)^2*(cb)^2 + (ca)^2*(sa)^2 + 2*sa*ca*sb*cb
注意到 (sa)^2 - (sa)^2*(cb)^2 = (sa)^2(sb)^2，因此
2(sa)^2(sb)^2 = 2*sa*ca*sb*cb
由角的范围，sa,sb都不为0，可以约去，即 sa*sb = ca*cb
即 cos(a+b) = 0, 由角的范围推出 a+b = pi/2，因此也是必要条件

Answer 2

α+β=π/2时β=π/2-α，sinβ=cosα,
∴(sinα)^2+(sinβ)^2=(sinα)^2+(cosα)^2=1=[sin(α+β)]^2,
反过来，(sinα)^2+(sinβ)^2=[sin(α+β)]^2,
则1-cos2α+1-cos2β=1-cos(2α+2β),
cos2α+cos2β=1+cos(2α+2β),
∴2cos(α+β)cos(α-β)=2[cos(α+β)]^2,
∴cos(α+β)[cos(α-β)-cos(α+β)]=0,
∴2cos(α+β)sinαsinβ=0,
0<α,β<π/2,∴sinα,sinβ>0,∴cos(α+β)=0,0<α+β<π,
∴α+β=π/2.
选C.